Le tempérament égal

Dans la leçon sur les harmoniques, vous avez vu que chaque note contient une série de fréquences bien rangées : deux, trois, quatre, cinq fois la fondamentale. Ces multiples sont à l'origine des intervalles les plus agréables à l'oreille. Pourtant, votre logiciel ne les utilise pas tels quels. Il découpe l'octave en douze demi-tons parfaitement égaux. Cette leçon explique pourquoi, et ce que vous y gagnez comme ce que vous y perdez.

Les intervalles naturels

Quand deux notes ont des fréquences dans un rapport simple, leurs harmoniques se rencontrent exactement, et l'intervalle sonne calme, sans battements. Le rapport 2 pour 1 donne l'octave, par exemple 110 et 220 hertz. Le rapport 3 pour 2 donne la quinte juste, par exemple 220 et 330 hertz. Le rapport 4 pour 3 donne la quarte juste, 5 pour 4 la tierce majeure et 6 pour 5 la tierce mineure. On appelle ces intervalles des intervalles purs, ou naturels.

Prenez la tierce majeure au-dessus de A3, qui vibre à 220 hertz. Le rapport pur la place à 275 hertz. La cinquième harmonique du la, à 1 100 hertz, tombe alors exactement sur la quatrième harmonique de la tierce, à 1 100 hertz elle aussi. Rien ne bat, et la tierce sonne parfaitement posée.

Les quintes ne referment pas le cercle

Si les intervalles purs sonnent si bien, pourquoi ne pas accorder tout le clavier avec eux ? Essayons. Partez de do (C) et montez de quinte pure en quinte pure : sol, ré, la, mi, si, fa dièse, do dièse, sol dièse, ré dièse, la dièse, mi dièse (G, D, A, E, B, F♯, C♯, G♯, D♯, A♯, E♯), et la douzième quinte devrait vous ramener sur si dièse (B♯), c'est-à-dire sur un do, sept octaves plus haut. Le calcul dit autre chose.

Douze quintes pures multiplient la fréquence par 1,5 douze fois de suite, ce qui donne environ 129,75. Sept octaves la multiplient par 2 sept fois de suite, ce qui donne exactement 128. Il reste un petit excédent d'environ 23,5 cents, qu'on appelle le comma pythagoricien. Autrement dit, les quintes pures ne retombent jamais exactement sur l'octave : quelque part, il faut tricher.

Pendant des siècles, les musiciens ont essayé différentes façons de répartir cette tricherie, qu'on appelle des tempéraments. Certains gardaient des tierces très pures dans les tonalités courantes, au prix de quelques tonalités presque injouables. La solution qui s'est imposée pour les claviers et pour la plupart des musiques occidentales actuelles est la plus égalitaire : le tempérament égal.

Douze demi-tons parfaitement égaux

Le tempérament égal divise l'octave en douze demi-tons identiques. Chaque demi-ton multiplie la fréquence par la racine douzième de 2, environ 1,0595, et mesure exactement 100 cents. Le comma est réparti à parts égales entre les douze quintes : chacune est raccourcie d'environ 2 cents, et le cercle se referme exactement. Toutes les tonalités sonnent alors de la même façon, seule la hauteur change.

C'est ce qui rend votre piano roll si pratique. Vous pouvez sélectionner une boucle et la monter de trois rangées sans que rien ne change de couleur. Un accord de do majeur a exactement la même forme et le même son qu'un accord de fa dièse majeur, simplement plus haut. Les gammes, les chiffres romains, la transposition d'un sample : tout ce que vous avez appris dans ce cours repose sur ce découpage régulier.

Ce que l'oreille y perd

Le prix à payer, c'est qu'à part l'octave, aucun intervalle n'est exactement pur. Le tableau compare chaque intervalle pur à sa version dans le tempérament égal. Les quintes et les quartes sont presque parfaites. Les tierces et les sixtes, en revanche, s'éloignent nettement de leur rapport naturel.

La tierce majeure de votre logiciel est donc trop large d'environ 14 cents. Sur A3, la tierce pure vibrerait à 275 hertz, alors que C♯4 vibre à environ 277,2 hertz. Les harmoniques qui se rencontraient exactement se frôlent maintenant à quelques hertz près, et elles battent, environ huit à neuf fois par seconde. Écoutez la différence avec un son riche en harmoniques.

La tierce tempérée a une petite agitation, un léger frémissement que la tierce pure n'a pas. Pour la quinte, la différence est presque imperceptible : ses harmoniques battent moins d'une fois par seconde. Ne vous inquiétez pas pour autant : nos oreilles sont habituées au tempérament égal, et la plupart des auditeurs ne remarquent rien.

Dans la dernière leçon de cette partie, nous passons du temps des vibrations au temps du morceau, en traduisant le tempo en millisecondes pour régler vos delays, vos reverbs et vos LFO.